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        1. 如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C.A(1,1)、B(3,1).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).過P點(diǎn)作PQ垂精英家教網(wǎng)直于直線OA,垂足為Q,設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<4),△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
          (1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式;
          (2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,是否存t,使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)設(shè)出此拋物線的解析式,把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入此解析式求出a、b的值即可;
          (2)由與t的取值范圍不能確定,故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論,
          ①當(dāng)0<t≤2,重疊部分的面積是S△OPQ,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F,在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出其面積;
          ②當(dāng)2<t≤3,設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G,作GH⊥x軸于點(diǎn)H,∠OPQ=∠QOP=45°,則四邊形OAGP是等腰梯形,
          重疊部分的面積是S梯形OAGP,由梯形的面積公式即可求解;
          ③當(dāng)3<t<4,設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,重疊部分的面積是S五邊形OAMNC
          因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形,所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN,進(jìn)而可求出答案;
          (3)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)拋物線的解析式即可求出t的值.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)解法一:由圖象可知:拋物線經(jīng)過原點(diǎn),
          設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0).
          把A(1,1),B(3,1)代入上式得
          1=a+b
          1=9a+3b

          解得
          a=-
          1
          3
          b=
          4
          3
          ,
          ∴所求拋物線解析式為y=-
          1
          3
          x2+
          4
          3
          x;

          解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2.
          設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+h(a≠0),
          把O(0,0),A(1,1)代入得
          0=a(0-2)2+h
          1=a(1-2)2+h

          解得
          a=-
          1
          3
          h=
          4
          3
          ∴所求拋物線解析式為:y=-
          1
          3
          (x-2)2+
          4
          3


          (2)分三種情況:
          ①當(dāng)0<t≤2,重疊部分的面積是S△OPQ,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F,
          ∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,
          在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,
          ∴PQ=OQ=tcos45°=
          2
          2
          t,
          ∴S=
          1
          2
          2
          2
          t)2=
          1
          4
          t2精英家教網(wǎng)

          ②當(dāng)2<t≤3,設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G,
          作GH⊥x軸于點(diǎn)H,∠OPQ=∠QOP=45°,則四邊形OAGP是等腰梯形,
          重疊部分的面積是S梯形OAGP
          ∴AG=FH=t-2,
          ∴S=
          1
          2
          (AG+OP)AF=
          1
          2
          (t+t-2)×1=t-1.

          ③當(dāng)3<t<4,設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,精英家教網(wǎng)
          重疊部分的面積是S五邊形OAMNC
          因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形,
          所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN
          ∵B(3,1),OP=t,
          ∴PC=CN=t-3,
          ∴BM=BN=1-(t-3)=4-t,
          ∴S=
          1
          2
          (2+3)×1-
          1
          2
          (4-t)2 S=-
          1
          2
          t2+4t-
          11
          2


          (3)存在t1=1,t2=2.
          將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)Q(t+
          t
          2
          ,
          t
          2
          ),O(t,t)
          ①當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí),
          t
          2
          =-
          1
          3
          ×(t+
          t
          2
          2+
          4
          3
          ×(t+
          t
          2
          ),解得t=2;
          ②當(dāng)點(diǎn)O在拋物線上時(shí),t=-
          1
          3
          t2+
          4
          3
          t,解得t=1.
          點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,三角形的面積公式、梯形的面積公式及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),涉及面較廣,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C、A(1,1)、B(3,1).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA,垂足為Q.設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒(精英家教網(wǎng)0<t<4),△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
          (1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式;
          (2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          6、如圖所示,已知在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E為BC上的點(diǎn),且EA=ED,∠AEB=75°,∠DEC=45°,試說明AB=BC.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C,A(1,1)、B(3,1).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA,垂足為Q.設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<4),△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
          (1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式;
          (2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          (4)將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,已知在直角三角形紙片ABC中,BC=3,∠BAC=30°,在AC上取一點(diǎn)E,以BE為折痕,使AB的一部分與BC重合,A與BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重合,則DE的長(zhǎng)度為( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案