Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB=4，以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中P點(diǎn)在AQ（�。┥锨�不與A點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn) AP（�。┑拈L(zhǎng)與QB（弧）的長(zhǎng)之和為定值l，求l；

思考 點(diǎn)M與AB的最大距離為_______，此時(shí)點(diǎn)P，A間的距離為_______；點(diǎn)M與AB的最小距離為________，此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.

探究 當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，求AP（�。┑拈L(zhǎng).

（注：結(jié)果保留π，cos 35°=，cos 55°=）

Answer 1

【答案】（1）；（2），2，，；（3）弧AP的長(zhǎng)為.

【解析】

試題分析：發(fā)現(xiàn)：連結(jié)OP，OQ，可得OP=OQ=PQ=2，即可得OP=OQ=PQ=2，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧BC的長(zhǎng)度，用半圓的弧長(zhǎng)減去弧BC的長(zhǎng)即可求得l的長(zhǎng)；思考：當(dāng)OM⊥AB時(shí)， 點(diǎn)M與AB的最大距離就是OM，△AOP是等邊三角形，利用垂徑定理和勾股定理即可得OM和PA的長(zhǎng)，當(dāng)Q與B重合點(diǎn)，點(diǎn)M與AB的距離最小，利用三角形的三邊關(guān)系即可求得答案；探究：半圓M與AB相切，分兩種情況①半圓M與AO切于點(diǎn)T時(shí)和②半圓M與BO切于點(diǎn)S時(shí)，分別求得弧AP的長(zhǎng)即可.

試題解析：發(fā)現(xiàn)：連結(jié)OP，OQ，則OP=OQ=PQ=2.

∴∠POQ=60°，∴弧BC的長(zhǎng)=.

∴.

思考：，2，，.

探究：半圓M與AB相切，分兩種情況：

①如圖1，半圓M與AO切于點(diǎn)T時(shí)，連結(jié)PO,MO,TM.

則MT⊥AO，OM⊥PQ，

在Rt△POM中，sin∠POM=，

∴∠POM=30°，

在Rt△TOM中，TO=，

∴cos∠AOM=，即∠AOM=35°，

∴∠POA=35°-30°=5°.

∴弧AP的長(zhǎng)=.

②如圖2，半圓M與BO切于點(diǎn)S時(shí)，連結(jié)PO,MO,SM..

根據(jù)圓的對(duì)稱性，同理得弧BQ的長(zhǎng)為，

由得弧AP的長(zhǎng)為.

綜上，弧AP的長(zhǎng)為.