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        1. 【題目】已知△ABC是等邊三角形,D是BC邊上的一個動點(點D不與B,C重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過點F作BC的平行線交射線AC于點E,連接BF.
          (1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;
          (2)請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;
          (3)若D點在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請說明理由.

          【答案】
          (1)證明:∵△ABC和△ADF都是等邊三角形,

          ∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,

          又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,

          ∴∠FAB=∠DAC,

          在△AFB和△ADC中,

          ,

          ∴△AFB≌△ADC(SAS);


          (2)解:由①得△AFB≌△ADC,

          ∴∠ABF=∠C=60°.

          又∵∠BAC=∠C=60°,

          ∴∠ABF=∠BAC,

          ∴FB∥AC,

          又∵BC∥EF,

          ∴四邊形BCEF是平行四邊形;


          (3)解:成立,理由如下:

          ∵△ABC和△ADF都是等邊三角形,

          ∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,

          又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE,∠DAC=∠FAD﹣∠FAE,

          ∴∠FAB=∠DAC,

          在△AFB和△ADC中,

          ,

          ∴△AFB≌△ADC(SAS);

          ∴∠AFB=∠ADC.

          又∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,

          ∴∠ADC=∠EAF,

          ∴∠AFB=∠EAF,

          ∴BF∥AE,

          又∵BC∥EF,

          ∴四邊形BCEF是平行四邊形.


          【解析】(1)利用有兩條邊對應(yīng)相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC;(2)四邊形BCEF是平行四邊形,因為△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,進而證明∠ABF=∠BAC,則可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四邊形BCEF是平行四邊形;(3)易證AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可證明△AFB≌△ADC;根據(jù)△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,進而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,從而證得四邊形BCEF是平行四邊形.
          【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行四邊形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

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