Question

【題目】如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD向上折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：△BDF是等腰三角形；

(2)如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O.

①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的長(zhǎng)．

圖1

圖2

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①四邊形BFDG是菱形；②.

【解析】

1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；

（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；

②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．

(1)證明：如圖1，由折疊得，∠DBC＝∠DBE.∵AD∥BC∴∠DBC＝∠BDA

∴∠BDA＝∠DBE∴BF＝DF∴△BDF是等腰三角形．

(2)①四邊形BFDG是菱形，理由如下：如圖2

∵AD∥BC.DG∥BF.∴四邊形BFDG是平行四邊形，

又∵BF＝DF，∴四邊形BFDG是菱形．

②∵四邊形BFDG是菱形．∴FG⊥BD.BO＝BD.FO＝FG

∵AB＝6，AD＝8∴BD＝10.∴BO＝5.設(shè)DF＝x，

則AF＝8－x在Rt△ABF中，62＋(8－x)2＝x2

解得x＝，在Rt△BOF中，∴FO＝＝∴FG＝2FO＝.