Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2

3

），C（0，2

3

），點(diǎn)P在線段OA上（不與O、A重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A’），折痕PQ與射線AB交于點(diǎn)Q，設(shè)OP=x，折疊后紙片重疊部分的面積為y．（圖②供探索用）
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍；
（3）y存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵兩底邊OA=10，CB=8，垂直于底的腰 OC=2

3

，
∴tan∠OAB=

2 3

10-8

=

3

，
∴∠OAB=60°．

（2）當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，
∵∠OAB=60°，PA=PA′，
∴△A′PA是等邊三角形，且QP⊥QA′，
∴PQ=（10-x）sin60°=

3

2

（10-x），A′Q=AQ=

1

2

AP=

1

2

（10-x），
∴y=S_△AQP=

1

2

A′Q•QP=

3

8

（10-x）²，
當(dāng)A?與B重合時(shí)，AP=AB=

3

sin60°

=4，
所以此時(shí)6≤x＜10；
當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB的延長線，且點(diǎn)Q在線段AB（不與B重合）上時(shí)，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖②，其中E是PA′與CB的交點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，AP=2AB=8，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），
又由（2）中求得當(dāng)A?與B重合時(shí)，P的坐標(biāo)是（6，0），
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，2＜x＜6；

（3）y存在最大值．
①當(dāng)6≤x＜10時(shí)，y=

3

8

（10-x）²，
在對稱軸x=10的左邊，S的值隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x=6時(shí)，y的值最大是2

3

；
②當(dāng)2≤x＜6時(shí)，由圖②，重疊部分的面積y=S_△A′QP-S_△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴y=

3

8

（10-x）²-

1

2

（10-x-4）²×

3

2

=

3

8

（-x²+4x+28）=-

3

8

（x-2）²+4

3

，
當(dāng)x=2時(shí)，y的值最大是4

3

；
③當(dāng)0＜x＜2，即當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)Q都在線段AB的延長線是（如圖③，其中E是PA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是QP與CB的交點(diǎn)），
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF，四邊形EPAB是等腰形，
∴EF=EP=AB=4，
∴y=

1

2

EF•OC=

1

2

×4×2

3

=4

3

．
綜上所述，S的最大值是4

3

，此時(shí)x的值是0＜x≤2．