Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且BF＝BC.⊙O是△BEF的外接圓，連結(jié)BD.

(1)求證：△ABC≌△EBF；

(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，從而證得△ABC≌△EBF；

（2）BD與⊙O相切，如圖1，連接OB證得∠DBO=90°，即可得到BD與⊙O相切．

（1）∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°．

∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE．

在△ABC與△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；

（2）BD與⊙O相切．證明如下：

如圖1，連接OB．

∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB．

∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC．

∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF．

∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD與⊙O相切．