Question

（2012•包頭）如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．
（1）求證：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的長；
（3）求證：AF+2DF=AB．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，進而利用圓周角、圓心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，進而得出r的長，即可求出BE的長；
（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，進而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，
∵ED切⊙O于點C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴

BC

=

CF

，
∴BC=CF；

（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD=6，DE=8，
根據勾股定理得AE=10，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴

EO

EA

=

OC

AD

，
設⊙O的半徑為r，
∴OE=10-r，
∴

10-r

10

=

r

6

，
∴r=

15

4

，
∴BE=10-2r=

5

2

；

（3）證明：過C作CG⊥AB于G，
∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，
∴CG=CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中，
∵

CG=CD AC=AC

，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），
∴AG=AD，
在Rt△CGB和Rt△CDF中，
∵

BC=FC CG=CD

，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），
∴GB=DF，
∵AG+GB=AB，
∴AD+DF=AB，
AF+DF+DF=AB，
∴AF+2DF=AB．

點評：此題主要考查了切線的性質定理和圓周角及弧的關系、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，得出GB=DF是解題關鍵．