Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B，M（m，0）為x軸上一動點，點M在線段OA上運動且不與O，A重合，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）在運動過程中，若點P為線段MN的中點，求m的值；

（3）在運動過程中，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）m的值為；

（3）當以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似時，點M的坐標為（2.5.0）或（，0）．

【解析】

（1）把A點坐標代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）用m可表示出M、P、N的坐標，由題意可知有P為線段MN的中點，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

（3）由M點坐標可表示P、N的坐標，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值，從而得到點M的坐標．

（1）∵y=﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）由（1）可知直線解析式為y=﹣x+2，

∵M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∵P為線段MN的中點時，

∴有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，

解得m=3（三點重合，舍去）或m=．

故m的值為．

（3）由（1）可知直線解析式為y=﹣x+2，

∵M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

當∠BNP=90°時，則有BN⊥MN，

∴N點的縱坐標為2，

∴﹣m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，

∴M（2.5，0）；

當∠NBP=90°時，過點N作NC⊥y軸于點C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，

∵∠NBP=90°，

∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

∴，

∴=，解得m=0（舍去）或m=，

∴M（，0）；

綜上可知，當以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似時，點M的坐標為（2.5.0）或（，0）．