Question

如圖，⊙M與y軸的正半軸相切于點C，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₂＞x₁＞0，拋物線y=（x²-5x+2m）經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求m的值；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）在圖中的曲線上是否存在點P，使以P、A、C為頂點的三角形與△COA相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖：過點M作MD⊥AB于點D，
當(dāng)x=0時，y=m，∴C（0，m）
當(dāng)y=0時，有x²-x+m=0
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=2m，
AD=AB=（x₂-x₁）=
=．
∵⊙M與y軸相切于點C，
∵AB=0B-OA=x₂-x₁，
∴OD=AD+OA=AB+OA=+x₁=（x₁+x₂），
∴CM=AM=OD=（x₁+x₂）=．
DM=OC=m，
在直角三角形AMD中，
AM²=AD²+MD²，
即：=+m²，
解得：m₁=0，m₂=2．
∵m＞0，
∴m=2．

（2）∵m=2，
∴y=x²-x+2
∴C（0，2）
當(dāng)y=0時，x²-x+2=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，AD=，AM=，MD=2
∵S_△ABM=AB•MD=AM•BM•sin∠AMB，
∴×3×2=×××sin∠AMB，
∴sin∠AMB=．

（3）如圖：
分別過點A，C作AC的垂線交拋物線于P₁和P₂，
∵A（1，0），C（0，2），AC=
∴AC：y=-2x+2
AP₁：y=x-，
AP₂：y=x+2，
由得：p₁（5，2），AP₁=2，
∵===，
∴△P₁AC∽△COA．
由得：P₂（6，5），CP₂=3，
∵==≠，
∴△P₂AC與△AOC不相似．
因此，存在點P（5，2）．
分析：（1）過點M作x軸的垂線，垂足為點D，在直角三角形AMD中用勾股定理計算求出m的值．
（2）利用（1）中求出的m的值，得到點A，B，M的坐標，求出線段AB，MD，AM的長，然后在△ABM中，用面積法求出sin∠AMB的值．
（3）分別過A，C兩點作AC的垂線，與拋物線交于點P₁和點P₂，因為△AOC中，OA=1，OC=2，所以當(dāng)△PAC中，滿足兩直角邊的比是1：2時，點P就存在，否則，就不存在．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用勾股定理求出m的值．（2）用面積法求出角的正弦值．（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點P的坐標．