Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC與BD交于點O，將△ABD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△EFD，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）點A的對應點為點E，點B的對應點為點F

（1）求證：四邊形形ABCD是菱形
（2）若∠BAD=30°，DE邊為與AB邊相交于點M，當點F恰好落在AC上時，求證：MD=ME
（3）若△ABD的周長是48，EF邊與BC邊交于點N，DF邊與BC邊交于點P，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當△FNP是直角三角形是，△FNP的面積是多少．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB∥CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∴∠DAC=∠ACD，

∴AD=DC，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）

證明：如圖1中，連接AE．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，

∴∠FOD=90°，

∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，

∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，

∵點F恰好在AC上，

∴DF=2OD，

在Rt△FOD中，cos∠ODF= = ，

∴∠ADE=∠BDF=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠EAD=60°，

∵∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠EAD﹣∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠MAD，

∴DM=EM．

（3）

解：如圖2中，作EH⊥DF．

∵AB=AD=15，△ABD的周長為48，

∴BD=48﹣15﹣15=18，

當DF⊥BC時，△PNF是直角三角形，

在Rt△COB中，OC= =12，

∵ BDOC= BCDP，

∴DP= ，

∵DF=BD=18，

∴PF=18﹣ = ，

∵PN∥EH，

∴ = ，

∴ = ，

∴PN= ，

∴S△PNF= × × = ．

故答案為 ．

【解析】（1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）如圖1中，連接AE．只要證明△ADE是等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可證明；（3）如圖2中，作EH⊥DF．當DF⊥BC時，△PNF是直角三角形，想辦法求出PN、PF即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對應的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．