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        1. 綜合與探究:
          如圖,拋物線y=數(shù)學公式x2-數(shù)學公式x-4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
          (1)求點A,B,C的坐標.
          (2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
          (3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

          解:(1)當y=0時,x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=8,
          ∵點B在點A的右側(cè),
          ∴點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(8,0).
          當x=0時,y=-4,
          ∴點C的坐標為(0,-4).

          (2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標為(0,4).
          設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則

          解得k=-,b=4.
          ∴直線BD的解析式為y=-x+4.
          ∵l⊥x軸,
          ∴點M的坐標為(m,-m+4),點Q的坐標為(m,m2-m-4).
          如圖,當MQ=DC時,四邊形CQMD是平行四邊形,
          ∴(-m+4)-(m2-m-4)=4-(-4).
          化簡得:m2-4m=0,
          解得m1=0(不合題意舍去),m2=4.
          ∴當m=4時,四邊形CQMD是平行四邊形.
          此時,四邊形CQBM是平行四邊形.
          解法一:∵m=4,
          ∴點P是OB的中點.
          ∵l⊥x軸,
          ∴l(xiāng)∥y軸,
          ∴△BPM∽△BOD,
          ==
          ∴BM=DM,
          ∵四邊形CQMD是平行四邊形,
          ∴DMCQ,
          ∴BMCQ,
          ∴四邊形CQBM是平行四邊形.

          解法二:設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1,則
          ,
          解得k1=,b1=-4.
          故直線BC的解析式為y=x-4.
          又∵l⊥x軸交BC于點N,
          ∴x=4時,y=-2,
          ∴點N的坐標為(4,-2),
          由上面可知,點M的坐標為(4,2),點Q的坐標為(4,-6).
          ∴MN=2-(-2)=4,NQ=-2-(-6)=4,
          ∴MN=QN,
          又∵四邊形CQMD是平行四邊形,
          ∴DB∥CQ,
          ∴∠3=∠4,
          ∵在△BMN與△CQN中,

          ∴△BMN≌△CQN(ASA)
          ∴BN=CN,
          ∴四邊形CQBM是平行四邊形.

          (3)拋物線上存在兩個這樣的點Q,分別是Q1(-2,0),Q2(6,-4).
          若△BDQ為直角三角形,可能有三種情形,如答圖2所示:

          ①以點Q為直角頂點.
          此時以BD為直徑作圓,圓與拋物線的交點,即為所求之Q點.
          ∵P在線段EB上運動,∴-8≤xQ≤8,而由圖形可見,在此范圍內(nèi),圓與拋物線并無交點,
          故此種情形不存在.
          ②以點D為直角頂點.
          連接AD,∵OA=2,OD=4,OB=8,AB=10,
          由勾股定理得:AD=,BD=
          ∵AD2+BD2=AB2,∴△ABD為直角三角形,即點A為所求的點Q.
          ∴Q1(-2,0);
          ③以點B為直角頂點.
          如圖,設(shè)Q2點坐標為(x,y),過點Q2作Q2K⊥x軸于點K,則Q2K=-y,OK=x,BK=8-x.
          易證△QKB∽△BOD,
          ,即,整理得:y=2x-16.
          ∵點Q在拋物線上,∴y=x2-x-4.
          x2-x-4=2x-16,解得x=6或x=8,
          當x=8時,點Q2與點B重合,故舍去;
          當x=6時,y=-4,
          ∴Q2(6,-4).
          分析:(1)根據(jù)坐標軸上點的特點,可求點A,B,C的坐標.
          (2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程,求得m的值;再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀;
          (3)分DQ⊥BD,BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標.
          點評:考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識點有:坐標軸上點的特點,菱形的對稱性,待定系數(shù)法求直線的解析式,平行四邊形的判定和性質(zhì),方程思想和分類思想的運用,綜合性較強,有一定的難度.
          練習冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•太原)綜合與探究:
          如圖,拋物線y=
          1
          4
          x2-
          3
          2
          x-4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
          (1)求點A,B,C的坐標.
          (2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
          (3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2013年山西省高級中等學校招生考試數(shù)學 題型:044

          綜合與探究:如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q

          (1)求點A,B,C的坐標.

          (2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.

          (3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形,若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2013年山西省太原市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

          綜合與探究:
          如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
          (1)求點A,B,C的坐標.
          (2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
          (3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2013年山西省中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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          如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
          (1)求點A,B,C的坐標.
          (2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
          (3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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