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        1. 如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=4.一動點P從點B出發(fā),沿BC方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,到達點C即停止.在整個運動過程中,過點P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點D,延長PD至點Q,使得PD=QD,以PQ為斜邊在PQ左側作等腰直角三角形PQE.設運動時間為t秒(t>0).

          (1)在整個運動過程中,設△ABC與△PQE重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式以及相應的自變量t的取值范圍;
          (2)當點D在線段AB上時,連接AQ、AP,是否存在這樣的t,使得△APQ成為等腰三角形?若存在,求出對應的t的值;若不存在,請說明理由;
          (3)當t=4秒時,以PQ為斜邊在PQ右側作等腰直角三角形PQF,將四邊形PEQF繞點P旋轉,PE與線段AB相交于點M,PF與線段AC相交于點N.試判斷在這一旋轉過程中,四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,求出四邊形PMAN的面積y與PM的長x之間的函數(shù)關系式以及相應的自變量x的取值范圍;若不發(fā)生變化,求出此定值.
          (1)當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S=t2-12t+48;(2)秒或t2=(12-4)秒;(3)8.

          試題分析:(1)當PQ過A時求出t=4,當E在AB上時求出t=,當P到C點時t=8,即分為三種情況:根據(jù)三角形面積公式求出當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S= t2-12t+48;
          (2)存在,當點D在線段AB上時,求出QD=PD=t,PD=2t,過點A作AH⊥BC于點H,PH=BH-BP=4-t,在Rt△APH中求出AP=,
          (。┤鬉P=PQ,則有 ,
          (ⅱ)若AQ=PQ,過點Q作QG⊥AP于點G,根據(jù)△PGQ∽△AHP求出PG=,若AQ=PQ,得出
          (ⅲ)若AP=AQ,過點A作AT⊥PQ于點T,得出4=×2t,求出方程的解即可;
          (3)四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化,連接AP,此時t=4秒,求出S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=8.
          試題解析:(1)當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S=t2-12t+48;(2)存在,理由如下:
          當點D在線段AB上時,
          ∵AB=AC,
          ∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=45°.
          ∵PD⊥BC,
          ∴∠BPD=90°,
          ∴∠BDP=45°,
          ∴PD=BP=t,
          ∴QD=PD=t,
          ∴PQ=QD+PD=2t.
          過點A作AH⊥BC于點H,
          ∵AB=AC,
          ∴BH=CH=BC=4,AH=BH=4,
          ∴PH=BH-BP=4-t,
          在Rt△APH中,AP=;
          (。┤鬉P=PQ,則有
          解得:,(不合題意,舍去);
          (ⅱ)若AQ=PQ,過點Q作QG⊥AP于點G,如圖(1),

          ∵∠BPQ=∠BHA=90°,
          ∴PQ∥AH.
          ∴∠APQ=∠PAH.
          ∵QG⊥AP,
          ∴∠PGQ=90°,
          ∴∠PGQ=∠AHP=90°,
          ∴△PGQ∽△AHP,
          ,即,
          ,
          若AQ=PQ,由于QG⊥AP,則有AG=PG,即PG=AP,

          解得:t1=12-4,t2=12+4(不合題意,舍去);
          (ⅲ)若AP=AQ,過點A作AT⊥PQ于點T,如圖(2),

          易知四邊形AHPT是矩形,故PT=AH=4.
          若AP=AQ,由于AT⊥PQ,則有QT=PT,即PT=PQ,
          即4=×2t.解得t=4.
          當t=4時,A、P、Q三點共線,△APQ不存在,故t=4舍去.
          綜上所述,存在這樣的t,使得△APQ成為等腰三角形,即秒或t2=(12-4)秒;
          (3)四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化.理由如下:
          ∵等腰直角三角形PQE,
          ∴∠EPQ=45°,
          ∵等腰直角三角形PQF,
          ∴∠FPQ=45°.
          ∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°,
          連接AP,如圖(3),

          ∵此時t=4秒,
          ∴BP=4×1=4=BC,
          ∴點P為BC的中點.
          ∵△ABC是等腰直角三角形,
          ∴AP⊥BC,AP=BC=CP=BP=4,∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°,
          ∴∠APC=90°,∠C=45°,
          ∴∠C=∠BAP=45°,
          ∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°,
          ∠EPF=∠APM+∠APN=90°,
          ∴∠CPN=∠APM,
          ∴△CPN≌△APM,
          ∴S△CPN=S△APM,
          ∴S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8.
          ∴四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化,此定值為8.
          考點: 相似形綜合題.
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