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        1. 【題目】如圖,在ABC中,∠ACB=90°,CAD=30°,AC=BC=AD,CECD,且CE=CD,連接BD、DE、BE,則下列結(jié)論:①∠ECA=165°,BE=BC;AD=BE;CD=BD.其中正確的是 ( 。

          A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

          【答案】D

          【解析】

          ①根據(jù):∠CAD=30°,AC=BC=AD,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°,從而得證結(jié)論正確;②根據(jù)CE⊥CD,∠ECA=165°,利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論;③由②的結(jié)論,等量代換即可;④過DDM⊥ACM,過DDN⊥BCN.由∠CAD=30°,可得CM=AC,求證△CMD≌△CND,可得CN=DM=AC=BC,從而得出CN=BN.然后即可得出結(jié)論.

          ∵∠CAD=30°,AC=AD,

          ∴∠ACD=∠ADC=75°,

          ∵CE⊥CD,

          ∴∠ECA=165°,①正確;

          ACB=DCE=90°,

          ∠ACD=∠BCE,

          在△ACD和△BCE中,

          ∴△ACD≌△BCE,

          ∴BE=AD,③正確;

          ∵BC=AD,

          ∴BE=BC,②正確;

          DDM⊥ACM,過DDN⊥BCN.

          ∵∠CAD=30°,且DM=AC,

          ∵AC=AD,∠CAD=30°,

          ∴∠ACD=75°,

          ∴∠NCD=90°-∠ACD=15°,∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°,

          在△CMD和△CND中,,

          ∴△CMD≌△CND,

          ∴CN=DM=AC=BC,

          ∴CN=BN.

          ∵DN⊥BC,

          ∴BD=CD.

          ∴④正確,

          故選D.

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