Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí)，猜想CE、CF、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，直接寫出CE、CF、CD之間的數(shù)量關(guān)系，不證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE=CD＋CF，證明見解析；（3）CF=CD＋CE.

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC,DE=DF，由∠ABC=∠EDF=60°，∠EBC為公共角，得∠ADE=∠CDF，根據(jù)SAS得證△ADE≌△CDF.

（2）CE=CF+CD，理由為：過D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，連接CF，如圖，由DG與AB平行，利用兩直線平行同位角相等，確定出三角形GDC為等邊三角形，再由三角形EDF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，再利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EGD與三角形FCD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EG=FC，由EC=EG+GC，等量代換即可得證；
（3）CF=CE+CD，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，只要證明△EGD≌△FCD即可解決問題；

(1) ∵△ABC和△DEF是等邊三角形，

∴AB=BC,DE=DF，

∠ABC=∠EDF=60° ，

∴∠ADE=∠CDF ，

∴△ADE≌△CDF ，

（2）CE=CD＋CF ，理由為：

證明：過D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，連接CF，

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG為等邊三角形，
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，

,
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
則CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；

(3) CF=CD＋CE .