Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，∠EAB的平分線(xiàn)AC交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，直線(xiàn)CD與射線(xiàn)AB交于點(diǎn)P．

（1）判斷直線(xiàn)DP與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若DC=4，⊙O的半徑為5，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）相切，證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)連結(jié)OC,由AC平分∠EAB得到∠1=∠2,加上∠2=∠3,則∠1=∠3,于是可判斷OC∥AD,因?yàn)?/span>CD⊥AD,所以OC⊥CD,則根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到DC為圓O切線(xiàn);

(2)連結(jié)BC, 可得Rt△ACD∽Rt△ACB，計(jì)算出AD=8, 由OC∥AD，可得 △OPC∽△APD然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例可計(jì)算出PB的長(zhǎng).

(1) 直線(xiàn)DP與⊙O相切,

連結(jié)OC,如圖,

AC平分 ∠EAB,∠1=∠2,

OA=OC, ∠2=∠3

∠1=∠3,OC∥AD,

CD⊥AD,OC⊥CD,

DP為⊙0切線(xiàn);

(2)解:連結(jié)BC,如圖:在Rt△ACD與Rt△ACB,

∠ADC=∠ACB=90,∠1=∠2, Rt△ACD∽Rt△ACB，

,設(shè)AD=x，則，

，解得：（舍去），，

即:AD=8，

由（1）得OC∥AD， △OPC∽△APD

,設(shè)BP的長(zhǎng)為y，可得：

，解得：y=

即BP的長(zhǎng)為.