Question

如圖，已知P、A、B是x軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且PA：AB=1：2，以AB為直徑畫⊙M交y軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）求證：PC是⊙M的切線；
（2）在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得直線QC與過A、C、B三點(diǎn)的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）畫⊙N，使得圓心N在x軸的負(fù)半軸上，⊙N與⊙M外切、且與直線PC相切于D．問將過A、C、B三點(diǎn)的拋物線平移后能否同時(shí)經(jīng)過P、D、A三點(diǎn)，為什么？

Answer 1

分析：（1）證PC是⊙M的切線，只需連接CM，證CM⊥PC即可．已知了PA：AB=1：2．因此PA=AM．根據(jù)A和B的坐標(biāo)可知AB=4，因此AO=MO=1，MC=2，在直角三角形MOC中，∠CMO=60°，由此可得出三角形AMC是等邊三角形，因此AC=AM=PA，由此可證得三角形PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，由此得證．
（2）可假設(shè)符合條件的Q點(diǎn)存在，先設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)Q和C的坐標(biāo)，表示出直線QC的函數(shù)解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，由于這兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此聯(lián)立兩函數(shù)得出的一元二次方程中，△=0，可據(jù)此求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題要先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，可連接DN，那么DN∥MC，即可得出關(guān)于DN，MC，PN，PM的比例關(guān)系式，即可求出圓N的半徑．然后過D作DH⊥x軸于H，可在直角三角形PDN中，用射影定理求出NE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng)，也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．然后先求出經(jīng)過平移后過P、A的拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：（1）證明：連接MC．
∵A（-1，0），B（3，0）
∴AO=MO，又CO⊥AM
∴AC=CM，由CM=AM
∴△ACM是正三角形；
∴AC=AM
∵PA：PB=1：2，
∴PA=AM
∴PA=AM=AC
∴∠PCM=90°
∴PC是⊙M的切線．

（2）解：∵CO²=AO•BO，
∴C（0，

3

）；
設(shè)過A、C、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則

3

=-3a，a=-

3

3

．
∴y=-

3

3

（x+1）（x-3）．
假設(shè)滿足條件的Q點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（m，0），并設(shè)直線QC的解析式為y=kx+b，
則

3 =b mk+b=0

，
解得

b= 3 k=- 3 m

∴直線QC的解析式為y=-

3

m

x+

3

∵直線QC與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)
∴方程-

3

3

（x+1）（x-3）=-

3

m

x+

3

有相等的實(shí)數(shù)根，
將方程整理得x²-（2+

3

m

）x=0；
∴（2+

3

m

）²=0，m=-

3

2

．
即滿足條件的Q點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（-

3

2

，0）．

（3）解：連接DN，作DH⊥PN，垂足為H，設(shè)⊙N的半徑為r；
∵ND⊥PC，
∴ND∥MC；
∴

ND

MC

=

PN

PM

，
∴

r

2

=

2-r

4

，
∴r=

2

3

．
∵DN²=NH•NP
∴（

2

3

）²=NH•（2-

2

3

）
∴NH=

1

3

，
∴DH=

NH•HP

=

3

3

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，

3

3

）
∵將拋物線y=-

3

3

（x+1）（x-3）平移，使其經(jīng)過P、A兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-

3

3

（x+1）（x+3）；又經(jīng)驗(yàn)證D是該拋物線上的點(diǎn)．
∴將過A、C、B三點(diǎn)的拋物線平移后能同時(shí)經(jīng)過P、D、A三點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合圓、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的平移等問題，綜合性較強(qiáng)．