Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F點．

（1）求該拋物線解析式與F點坐標；
（2）如圖，動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；
同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動．過
點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．
①問EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此時t的值．

Answer 1

（1）y＝x²＋2x＋3，F(6，-3) （2） ①有，t=3；②，，1，

試題分析：（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）
∴C點坐標為（0，3）
∵拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C

∴ ∴ ∴y＝x²＋2x＋3
設直線AD的解析式為
∵A(4，0)、D(2，3) ∴ ∴
∴ 
∵F點在第四象限，∴F(6，-3)
（2）∵E(0，6)  ∴CE=CO
連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當P
運動到P′，當H運動到H′時， EP+PH+HF的值最小.
設直線CF的解析式為
∵C(0，3)、F(6，-3) ∴ ∴ ∴
當y=0時，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3  ∴t=3
如圖1，過M作MN⊥OA交OA于N
∵△AMN∽△AEO，∴
∴ ∴AN=t，MN=
I．如圖1，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=PH   ∴MN=  ∴t=1
II．如圖2，當PH=HM時，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，
，，
 （舍去），
III．如圖3．如圖4，當PH=PM時，PM=3， MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，
，25t²-100t+64=0 ，
∴，，1，

點評：本題考查二次函數(shù)、等腰三角形，要求考生會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)