Question

已知：如圖1，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)；△OCA是一個(gè)等腰三角形，OC＝AC，頂點(diǎn)C在第四象限，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．

（1）求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（2）在OA上（點(diǎn)O、A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過(guò)程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（），（）
（2）或
（3）4

試題分析：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D．
∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵，， ∴．
在Rt中， 
①當(dāng)時(shí)，,,；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ．
②當(dāng)時(shí)，
，．
∵，，∴．
∴．
即．
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C（1，-），所以O(shè)C=，假設(shè)OC=OD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為
假設(shè)OD=DC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（3）的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．
延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．
∵，∴≌．
∴，
∴．
∴． 又∵．
∴≌．∴
∴．
∴的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4
點(diǎn)評(píng)：該題較為復(fù)雜，是大題中的�？碱}，主要考查學(xué)生分析直角坐標(biāo)系幾何圖形與函數(shù)之間的聯(lián)系，圖形點(diǎn)的坐標(biāo)表示記得所在空間的符號(hào)。