Question

定義：對(duì)于拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b²=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y=2x²-2x+2是黃金拋物線．
（1）請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請(qǐng)?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（要求說(shuō)明理由）；
（3）將（2）中的黃金拋物線沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位
①直接寫(xiě)出平移后的新拋物線的解析式；
②設(shè)①中的新拋物線與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，問(wèn)新拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由[注：第小題可根據(jù)解題需要在備用圖中畫(huà)出新拋物線的示意圖（畫(huà)圖不計(jì)分）]
【提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】．

Answer 1

分析：（1）利用b²=ac即b²-ac=0的拋物線為黃金拋物線；
（2）根據(jù)題意得到b²=ac，然后結(jié)合根的判別式即可求得其根的判別式，根據(jù)判別式得到拋物線與x軸的交點(diǎn)情況即可．
（3）根據(jù)拋物線的平移規(guī)律即可得到平移后的拋物線的解析式，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到使以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）答：如y=x²，y=x²-x+1，y=x²+2x+4等；（3分）

（2）依題意得b²=ac
∴△=b²-4ac（4分）
=b²-4b²
=-3b²，（5分）
∴當(dāng)b=0時(shí)，△=0，此時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)（6分）
當(dāng)b≠0時(shí)，△＜0，此時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)（7分）

（3）答：①新拋物線的解析式為y=2x²-2x-1（9分）
②存在（10分）
有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，-1），（1，-1），（-

1

2

，

1

2

），（

3

2

，

1

2

）（14分，答對(duì)一個(gè)給1分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．