Question

某企業(yè)為手機產業(yè)基地提供手機配件，受人民幣走高的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

隨著國家調控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數）之間存在如圖所示的變化趨勢：
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₁與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數關系式；
（2）若去年該配件每件的售價為100元，生產每件配件的人力成本為5元，其它成本3元，該配件在1至9月的銷售量p₁（萬件）與月份x滿足函數關系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數），10至12月的銷售量p₂（萬件）與月份x滿足函數關系式p₂=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數）．求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12月上漲6元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎上減少8a%．這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤85萬元的任務，請你計算出a的值．

Answer 1

分析：（1）把表格（1）中任意2點的坐標代入直線解析式可得y₁的解析式．把（10，73）（12，75）代入直線解析式可得y₂的解析式，
（2）分情況探討得：1≤x≤9時，利潤=P₁×（售價-各種成本）；10≤x≤12時，利潤=P₂×（售價-各種成本）；并求得相應的最大利潤即可；
（3）根據1至5月的總利潤85萬元得到關系式求值即可．

解答：解：（1）設y₁=kx+b，
則

k+b=56 2k+b=58

，
解得

k=2 b=54

，
∴y₁=2x+54（1≤x≤9，且x取整數）；
設y₂=ax+b，則

10a+b=73 12a+b=75

，
解得

a=1 b=63

，
∴y₂=x+63（10≤x≤12，且x取整數）；
故：y₁=54+2x（1≤x≤9，且x取整數），y₂=63+x（10≤x≤12，且x取整數）．

（2）設去年第x月的利潤為W萬元．
當1≤x≤9，且x取整數時，
W=P₁（100-5-3-y₁）=（0.1x+1.1）（100-5-3-54-2x）
=-0.2x²+1.6x+41.8
=-0.2（x-4）²+45，
∵1≤x≤9，
∴當x=4時，W_最大=45．
當10≤x≤12，且x取整數時，
W=P₂（100-5-3-y₂）=（-0.1x+2.9）（100-5-3-63-x），
=0.1（x-29）²．
∵10≤x≤12時，且x取整數時，
當x=10時，W_最大=36.1．
∵45＞36.1，
∴去年4月銷售該配件的利潤最大，最大利潤為45萬元．

（3）去年12月銷售量為：2.9-0.1×12=1.7（萬件）．
今年原材料價格為：75+6=81（元）．
今年人力成本為：5×（1+20%）=6（元）．
由題意，得5×[100（1+a%）-81-6-3]×1.7（1-8a%）=85．
設t=a%，整理，得t-40t²=0，
∴t₁=0（舍去）t₂=

1

40

，
∴

1

40

=a%，a=2.5．
答：a的值為2.5．

點評：本題綜合考查了一次函數和二次函數的應用；根據二次函數的最值及相應的取值范圍得到一定范圍內的最大值是解決本題的易錯點．