Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.

（1）當(dāng)∠AOB＝30°時(shí)，求弧AB的長；
（2）當(dāng)DE＝8時(shí)，求線段EF的長；
（3）在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

；3；存在

試題分析：（1）連結(jié)BC,  
∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB="2∠AOB=60°,"
∴弧AB的長=;……4分

（2）連結(jié)OD,
∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中，
OE=,
∴AE=AO－OE=10-6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA,
∴,即，∴EF=3；……8分
（3）設(shè)OE=x，
①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即OE=，
∴E1（，0）；
當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=5-x,AE=10-x，
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
∴,即,解得：,
∴E2（，0）;

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
連結(jié)BE，
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,∴,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED,∴,
而AD=2BE,∴,
即,解得,＜0（舍去），
∴E3（，0）;

③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
連結(jié)BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED,∴，
而AD=2BE,∴,
∴,解得,＜0（舍去）,
∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上,∴E4（，0）,
綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：
（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（12分）
點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，注意對應(yīng)字母在對應(yīng)位置上.