Question

（1）計(jì)算：-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

，其中x=2+

2

．
（3）已知關(guān)于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）
①當(dāng)a=-2時(shí)，求此不等式的解，并在數(shù)軸上表示此不等式的解集；
②小明準(zhǔn)備了十張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數(shù)-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上．從中任意抽取一張，以卡片上的數(shù)作為不等式中的系數(shù)a，求使該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率．

Answer 1

分析：（1）原式第一項(xiàng)表示2平方得相反數(shù)，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，第三項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)公式化簡(jiǎn)，第四項(xiàng)利用零指數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)根據(jù)2-

3

大于0，利用正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后即可得到原式的值；
（2）將原式被除式的兩項(xiàng)分母分解因式，通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，除式分子利用平方差公式分解因式，分母提取x分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值；
（3）①將a=-2代入不等式中，移項(xiàng)將未知數(shù)x系數(shù)化為1，求出不等式的解集，表示在數(shù)軸上即可；
②分別將a=-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3代入不等式，求出不等式的解集，發(fā)現(xiàn)不等式解集沒有正整數(shù)解，而將a=-2，-1代入不等式有正整數(shù)解，即可求出該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率．

解答：解：（1）-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
=-4+（

3

-1）×

3

+4+1-（2-

3

）
=-4+3-

3

+4+1-2+

3

=2；

（2）（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

=[

x+2

x(x-2)

-

x-1

(x-2)2

]÷

(x+4)(x-4)

x(x+4)

=

(x+2)(x-2)-x(x-1)

x(x-2)2

•

x

x-4

=

x-4

x(x-2)2

•

x

x-4

=

1

(x-2)2

，
當(dāng)x=2+

2

時(shí)，原式=

1

2

；

（3）①當(dāng)a=-2時(shí)，不等式化為-2x+3＞0，
移項(xiàng)得：-2x＞-3，
解得：x＜1.5，
在數(shù)軸上表示，如圖所示：
；
②當(dāng)a=-10時(shí)，不等式化為-10x+3＞0，
解得：x＜

3

10

，沒有正整數(shù)解；
當(dāng)a=-9時(shí)，不等式化為-9x+3＞0，
解得：x＜

1

3

，沒有正整數(shù)解；
同理當(dāng)a=-8，-7，-6，-5，-4，-3時(shí)，不等式?jīng)]有正整數(shù)解；
當(dāng)a=-2時(shí)，原不等式解集為x＜1.5，正整數(shù)解為1；
當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式解得x＜3，正整數(shù)解為1，2，
則該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率P=

8

10

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，以及一元一次不等式的正整數(shù)解，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．