Question

【題目】如圖，在中，AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連接EG、GF、FH、HE。

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）四邊形EGFH是平行四邊形，證明見(jiàn)詳解;（2）四邊形EGFH是菱形，證明見(jiàn)詳解;（3）四邊形EGFH是平行四邊形，證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由于平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據(jù)對(duì)

角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質(zhì)；

（2）當(dāng)EF⊥GH時(shí)，平行四邊形EGFH的對(duì)角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；

（3）當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，則對(duì)角線相等且互相垂直平分；

可通過(guò)證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對(duì)角線相等，根據(jù)對(duì)角線相等的菱

形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．

（1）四邊形EGFH是平行四邊形；

證明：∵ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

∴點(diǎn)O是ABCD的對(duì)稱(chēng)中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）∵四邊形EGFH是平行四邊形，EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形；

（3）∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF(ASA)；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由(3)知四邊形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四邊形EGFH是正方形.