Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N．

（1）當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)，求點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，

∴OA旋轉(zhuǎn)了45°，

∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)為 =

（2）解：∵四邊形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

當(dāng)MN∥AC時(shí)，∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，

∵BA=BC，

∴AM=CN，

∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，

∴△OAM≌△OCN，

∴∠AOM=∠CON，

∵∠MON=45°，

∴∠AOM= （90°﹣45°）=22.5°，

∴旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN∥AC時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的角度為45°﹣22.5°=22.5°

（3）解：P值無變化．延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON，

∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

∴△OAE≌△OCN，

∴OE=ON，AE=CN，

∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN，

∴MN=ME=AM+AE，

∴MN=AM+CN，

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BM=AB+BC=4，

∴正方形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，P值無變化．

【解析】（1）點(diǎn)A經(jīng)過的路線是一段弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角的度數(shù)及半徑即可求解。
（2）根據(jù)已知條件易證得△OAM≌△OCN，得出∠AOM=∠CON，即可求出∠MON、∠AOM的度數(shù)。
（3）P值無變化．延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，先證明△OME≌△OMN，證得OM=OM，再證明△OME≌△OMN，得出MN=ME=AM+AE，即得MN=AM+CN，即可得到p的值。