Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BCF的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（﹣4，﹣12）；（3）點(diǎn)Q有坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．

【解析】

（1）將A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)y＝ax2+bx+c即可；

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設(shè)F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數(shù)式表示出△BCF的面積，用函數(shù)的思想即可推出結(jié)論；

（3）此問(wèn)要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三種情況進(jìn)行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進(jìn)一步寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數(shù)y＝ax2+bx+c，

得，

解得，，

∴拋物線解析式為y＝x2+3x﹣8；

（2）如圖1中，

作FN∥y軸交BC于N，

將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，

得，k＝﹣1，

∴yBC＝﹣x﹣8，

設(shè)F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），

∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC

＝FN×8

＝4FN

＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]

＝﹣2m2﹣16m

＝﹣2（m+4）2+32，

∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，△FBC的面積有最大值，

此時(shí)F（﹣4，﹣12），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（﹣4，﹣12）；

（3）存在點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：

①如圖2﹣1，

當(dāng)BQ＝BF時(shí)，

由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，

解得，m1＝，m2＝

∴Q1（0，），Q2（0，）；

②如圖2﹣2，

當(dāng)QB＝QF時(shí)，

由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，

解題，m＝﹣4，

∴Q3（0，﹣4）；

③如圖2﹣3，

當(dāng)FB＝FQ時(shí)，

由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，

解得，m1＝0，m2＝﹣24，

∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；

設(shè)直線BF的解析式為y＝kx+b，

將B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，

得，

解得，k＝﹣3，b＝﹣24，

∴yBF＝﹣3x﹣24，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣24，

∴點(diǎn)B，F，Q重合，故Q5舍去，

∴點(diǎn)Q有坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．