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        1. 【題目】已知,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AB的中點,若E在直線AC上任意一點,DF⊥DE,交直線BC于F點.G為EF的中點,延長CG交AB于點H.

          (1)若E在邊AC上.

          ①試說明DE=DF;

          ②試說明CG=GH;

          (2)若AE=3,CH=5.求邊AC的長.

          【答案】(1)證明見解析;證明見解析;(2)AC=7或1.

          【解析】

          試題分析:(1)①連接CD,推出CD=AD,∠CDF=∠ADE,∠A=∠DCB,證△ADE≌△CDF即可;②連接DG,根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG,推出∠GCD=∠GDC,推出∠GDH=∠GHD,推出DG=GH即可;

          (2)求出EF=5,根據(jù)勾股定理求出EC,即可得出答案.

          試題解析:(1)①連接CD,∵∠ACB=90°,D為AB的中點,AC=BC,∴CD=AD=BD,又∵AC=BC,∴CD⊥AB,∴∠EDA+∠EDC=90°,∠DCF=∠DAE=45°,∵DF⊥DE,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中∵∠A=DCF,AD=CD,ADE=CDF,∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF;

          ②連接DG,∵∠ACB=90°,G為EF的中點,∴CG=EG=FG,∵∠EDF=90°,G為EF的中點,∴DG=EG=FG,∴CG=DG,∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB,∴∠CDH=90°,∴∠GHD+∠GCD=90°,∠HDG+∠GDC=90°,∴∠GHD=∠HDG,∴GH=GD,∴CG=GH;

          (2)如圖,當(dāng)E在線段AC上時,∵CG=GH=EG=GF,∴CH=EF=5,∵△ADE≌△CDF,∴AE=CF=3,∴在Rt△ECF中,由勾股定理得:CE==4,∴AC=AE+EC=3+4=7;

          如圖,當(dāng)E在線段CA延長線時,AC=EC﹣AE=4﹣3=1,綜合上述AC=7或1.

          練習(xí)冊系列答案
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