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        1. 【題目】已知,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),若E在直線AC上任意一點(diǎn),DF⊥DE,交直線BC于F點(diǎn).G為EF的中點(diǎn),延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.

          (1)若E在邊AC上.

          ①試說(shuō)明DE=DF;

          ②試說(shuō)明CG=GH;

          (2)若AE=3,CH=5.求邊AC的長(zhǎng).

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析;證明見(jiàn)解析;(2)AC=7或1.

          【解析】

          試題分析:(1)①連接CD,推出CD=AD,∠CDF=∠ADE,∠A=∠DCB,證△ADE≌△CDF即可;②連接DG,根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG,推出∠GCD=∠GDC,推出∠GDH=∠GHD,推出DG=GH即可;

          (2)求出EF=5,根據(jù)勾股定理求出EC,即可得出答案.

          試題解析:(1)①連接CD,∵∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),AC=BC,∴CD=AD=BD,又∵AC=BC,∴CD⊥AB,∴∠EDA+∠EDC=90°,∠DCF=∠DAE=45°,∵DF⊥DE,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中,∵∠A=DCF,AD=CD,ADE=CDF,∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF;

          ②連接DG,∵∠ACB=90°,G為EF的中點(diǎn),∴CG=EG=FG,∵∠EDF=90°,G為EF的中點(diǎn),∴DG=EG=FG,∴CG=DG,∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB,∴∠CDH=90°,∴∠GHD+∠GCD=90°,∠HDG+∠GDC=90°,∴∠GHD=∠HDG,∴GH=GD,∴CG=GH;

          (2)如圖,當(dāng)E在線段AC上時(shí),∵CG=GH=EG=GF,∴CH=EF=5,∵△ADE≌△CDF,∴AE=CF=3,∴在Rt△ECF中,由勾股定理得:CE==4,∴AC=AE+EC=3+4=7;

          如圖,當(dāng)E在線段CA延長(zhǎng)線時(shí),AC=EC﹣AE=4﹣3=1,綜合上述AC=7或1.

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