Question

已知拋物線y＝－x²＋2mxm²m＋2．

　�。�1）判斷拋物線的頂點(diǎn)與直線L：y＝-x＋2的位置關(guān)系；

　　（2）設(shè)該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)OM?ON＝4，且OM≠ON時(shí)，求出這條拋物線的解析式；

（3）直線L交x軸于點(diǎn)A，（2）中所求拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)B．那么在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與直線L和x軸同時(shí)相切．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由拋物線，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（m，-m＋2），　　顯然滿足y＝-x＋2

∴　拋物線的頂點(diǎn)在直線L上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）設(shè)M（，0），N（，0），且．　由OM?ON＝4，，OM≠ON，得．

 ∵　，  ∴　．

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，＜0，此方程無解　　　　

　∵　△₁＝(2m)－4(m＋m－2)＝－4m＋8＝－4m＋8>0．　∴　m＜2．

故取m＝-3．　

則拋物線的解析式為．　　

　（3）拋物線的對稱軸為x＝-3，頂點(diǎn)（-3，5）．

　依題意，∠CAB＝∠ACB＝45°．

若點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)（-3，a）（a＞0），則點(diǎn)到直線L的距離為a（如圖），　∴　△是等腰直角三角形．

　∴　，．　∴　，5．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　若點(diǎn)P在x軸的下方，設(shè)（-3，-b）（b＞0），　則點(diǎn)到直線L的距離為b（如圖），同理可得△為等腰直角三角形，

∴　，．　∴　，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　∴　滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即（-3，）和（-3，）．