Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求∠OAB的度數(shù)；
（3）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，P是反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象在第四象限上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)PO²+PE²-2PC²是否是一個(gè)定值？若是求其值，若改變說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圖象，可得出一次函數(shù)和反比例函數(shù)y₂=

m

x

的圖象過（-2、1），（1，n），可得m、n的值，代入一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)式，可得一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)式．
（2）連接OB、OA，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，可得OA=OB，利用（1）可易得出AB=

10

，利用余弦定理即可得出cos∠BAO=

BA

2OA

=

2

2

，即∠BAO=45°．
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出各線段的平方，代入花間求解即可，得出結(jié)果為一定值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，反比例函數(shù)y₂=

m

x

的圖象過（-2、1），（1，n）
易得m=-2，n=-2；
則y₁=kx+b的圖象也過點(diǎn)（-2、1），（1，2）；
代入解析式可得k=-1，b=-1；
故兩個(gè)函數(shù)的解析式為y₂=-

2

x

、y₁=-x-1；

（2）連接OB、OA，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，
即有OA=OB=

5

，AB=3

2

，
即有cos∠BAO=

BA

2OA

=

3 10

10

，
即∠BAO≈19°．

（3）根據(jù)題意，可得E（-2，0），
又一次函數(shù)y₁=-x-1，y₁=0，得x=-1
即C（-1，0）
設(shè)點(diǎn)P（x，-

2

x

），即OP²=x²+

4

x2

，PE²=（x+2）²+

4

x2

，PC²=（x+1）²+

4

x2

，
即PO²+PE²-2PC²=x²+

4

x2

+（x+2）²+

4

x2

-2（x+1）²+2

4

x2

，
=x²+（x+2）²-2（x+1）²=2，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
（1）反比例函數(shù)y=kx的圖象是雙曲線，當(dāng)k＞0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．
（2）一次函數(shù)y=kx+b的圖象有四種情況：①當(dāng)k＞0，b＞0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；②當(dāng)k＞0，b＜0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；③當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；④當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．