Question

已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，-2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)在y軸上．點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求線段PE的長（用含x 的代數(shù)式表示）；
（3）點(diǎn)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得這個二次函數(shù)的解析式；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后由P在直線上，將x代入直線方程，即可求得P的縱坐標(biāo)，又由E在拋物線上，則可求得E的縱坐標(biāo)，它們的差即為PE的長；
（3）分別從當(dāng)∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當(dāng)∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，即可求得答案，注意不要漏解．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x-1）²-2，

（2）拋物線與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-

3

2

），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
∴

3k+m=0 m=- 3 2

，
∴

k= 1 2 m=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x-

3

2

．
∵P為線段AB上的一個動點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x-

3

2

）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-x-

3

2

），
∵0＜x＜3，
∴PE=（

1

2

x-

3

2

）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+

3

2

x，

（3）由題意可知D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，又D點(diǎn)在直線AB上，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1）．
①當(dāng)∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP，
∴

AB

OB

=

PE

DP

．
過點(diǎn)D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴

DP

DQ

=

AB

OA

，
又OA=3，OB=

3

2

，AB=

3 5

2

，
又DQ=x-1，
∴DP=

5

2

（x-1），
∴

3 5 2

3 2

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

5 2 (x-1)

，
解得：x=-1±

6

（負(fù)值舍去）．
∴P（

6

-1，

6 -4

2

）（如圖中的P₁點(diǎn)）；
②當(dāng)∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴

OA

OB

=

DE

PE

．
由（2）PE=-

1

2

x²+

3

2

x，DE=x-1，
∴

3 2

3

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

x-1

，
解得：x=1±

2

，（負(fù)值舍去）．
∴P（1+

2

，

2

2

-1）（如圖中的P₂點(diǎn)）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（

6

-1，

6 -4

2

）或（1+

2

，

2

2

-1）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長度的求解方法，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．