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        1. 已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點坐標為(3,0),B點在y軸上.點P為線精英家教網(wǎng)段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E.
          (1)求這個二次函數(shù)的解析式;
          (2)設(shè)點P的橫坐標為x,求線段PE的長(用含x 的代數(shù)式表示);
          (3)點D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似,請求出P點的坐標.
          分析:(1)首先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2-2,由A點坐標為(3,0),則可將A點的坐標代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法即可求得這個二次函數(shù)的解析式;
          (2)首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,然后由P在直線上,將x代入直線方程,即可求得P的縱坐標,又由E在拋物線上,則可求得E的縱坐標,它們的差即為PE的長;
          (3)分別從當∠EDP=90°時,△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時,△AOB∽△DEP兩種情況去分析,注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì),即可求得答案,注意不要漏解.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2-2,
          ∵A(3,0)在拋物線上,
          ∴0=a(3-1)2-2
          ∴a=
          1
          2

          ∴y=
          1
          2
          (x-1)2-2,

          (2)拋物線與y軸交點B的坐標為(0,-
          3
          2
          ),
          設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m,
          3k+m=0
          m=-
          3
          2

          k=
          1
          2
          m=-
          3
          2
          ,
          ∴直線AB的解析式為y=
          1
          2
          x-
          3
          2

          ∵P為線段AB上的一個動點,
          ∴P點坐標為(x,
          1
          2
          x-
          3
          2
          ).(0<x<3)
          由題意可知PE∥y軸,∴E點坐標為(x,
          1
          2
          x2-x-
          3
          2
          ),
          ∵0<x<3,
          ∴PE=(
          1
          2
          x-
          3
          2
          )-(
          1
          2
          x2-x-
          3
          2
          )=-
          1
          2
          x2+
          3
          2
          x,

          (3)由題意可知D點橫坐標為x=1,又D點在直線AB上,
          ∴D點坐標(1,-1).
          ①當∠EDP=90°時,△AOB∽△EDP,
          AB
          OB
          =
          PE
          DP

          過點D作DQ⊥PE于Q,精英家教網(wǎng)
          ∴xQ=xP=x,yQ=-1,
          ∴△DQP∽△AOB∽△EDP,
          DP
          DQ
          =
          AB
          OA
          ,
          又OA=3,OB=
          3
          2
          ,AB=
          3
          5
          2
          ,
          又DQ=x-1,
          ∴DP=
          5
          2
          (x-1),
          3
          5
          2
          3
          2
          =
          -
          1
          2
          x2+
          3
          2
          x
          5
          2
          (x-1)
          ,
          解得:x=-1±
          6
          (負值舍去).
          ∴P(
          6
          -1,
          6
          -4
          2
          )(如圖中的P1點);
          ②當∠DEP=90°時,△AOB∽△DEP,
          OA
          OB
          =
          DE
          PE

          由(2)PE=-
          1
          2
          x2+
          3
          2
          x,DE=x-1,
          3
          2
          3
          =
          -
          1
          2
          x2+
          3
          2
          x
          x-1
          ,
          解得:x=1±
          2
          ,(負值舍去).
          ∴P(1+
          2
          ,
          2
          2
          -1)(如圖中的P2點);
          綜上所述,P點坐標為(
          6
          -1,
          6
          -4
          2
          )或(1+
          2
          ,
          2
          2
          -1).
          點評:此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,線段的長度的求解方法,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性很強,解題的關(guān)鍵是方程思想,分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,二次函數(shù)y=x2-4的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的精英家教網(wǎng)左邊),與y軸交于點C.直線x=m(m>2)與x軸交于點D.
          (1)求A、B、C三點的坐標;
          (2)在直線x=m(m>2)上有一點P(點P在第一象限),使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似,求P點的坐標(用含m的代數(shù)式表示);
          (3)在(2)成立的條件下,試問:拋物線y=x2-4上是否存在一點Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q,請求出m的值;如果不存在,請簡要說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知:如圖,二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.
          (1)求這個二次函數(shù)的解析式;
          (2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使銳角△AOB的面積等于3.求點B的坐標;
          (3)對于(2)中的點B,在拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標,并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知,如圖,二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a(a≠0)圖象的頂點為H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右側(cè)),點H、B關(guān)于直線l:y=
          3
          3
          x+
          3
          對稱.
          (1)求A、B兩點坐標,并證明點A在直線l上;
          (2)求二次函數(shù)解析式;
          (3)過點B作直線BK∥AH交直線l于K點,M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點,連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•閘北區(qū)一模)已知:如圖,二次函數(shù)y=
          2
          3
          x2-
          4
          3
          x-
          16
          3
          的圖象與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),拋物線的頂點為Q,直線QB與y軸交于點E.
          (1)求點E的坐標;
          (2)在x軸上方找一點C,使以點C、O、B為頂點的三角形與△BOE相似,請直接寫出點C的坐標.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a≠0)的圖象與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A、B,點A的坐標為(4,0).
          (1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
          (2)寫出該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標;
          (3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當△CQE的面積最大時,求點Q的坐標;
          (4)若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案