Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個正方形依次放入△ABC中，請回答下列問題：
（1）按要求填表

n	1	2	3
xn

（2）第n個正方形的邊長x_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）由四邊形CDEF是正方形，即可得CD=CF=DE=EF=x₁，DE∥AC，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得

DE

AC

=

BD

BC

，又由BC=1，AC=2，即可求得x₁的值，同理求得x₂，x₃的值；
（2）觀察規(guī)律即可求得第n個正方形的邊長x_n=(

2

3

)n．

解答：解：（1）∵四邊形CDEF是正方形，
則CD=CF=DE=EF=x₁，DE∥AC，
∴

DE

AC

=

BD

BC

，
即

x1

2

=

1-x1

1

，
解得：x₁=

2

3

，
同理可得：x₂=

4

9

，
x₃=

8

27

，

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）觀察規(guī)律可得：第n個正方形的邊長x_n=(

2

3

)n…（7分）

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，考查了學(xué)生的觀察歸納能力．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．