Question

（2013•成都一模）如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)．
（1）若∠ACB=58°，求∠ADC的度數(shù)；
（2）當(dāng)

CD

=

1

2

AC

時(shí)，連接CD、AD，其中AD與直徑BC相交于點(diǎn)E，求證：2CD²=CE•BC；
（3）在（2）的條件下，若∠COD=45°，CE=

2

，求

BC•CE

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出∠ADC的度數(shù)；
（2）利用

CD

=

1

2

AC

時(shí)，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，進(jìn)而得出2CD²=EC•BC；
（3）根據(jù)（2）中條件得出∠AOC=90°，進(jìn)而得出半徑OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，求出x的值，即可得出

BE•CE

AB

的值．

解答：解：（1）如圖1，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=58°，
∴∠B=90°-58°=32°，
∴∠ADC=32°；

（2）如圖2，
∵

CD

=

1

2

AC

，
∴∠COD=∠EDC，
∵∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴

CD

CE

=

OC

CD

，
∴CD²=EC•CO，
∴2CD²=EC•BC；

（3）∵∠COD=45°，∠DAC=

1

2

∠COD，

CD

=

1

2

AC

，
∴AD平分∠OAC，∠AOC=90°，
如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥AC，
由題意可得出：∠BCA=45°，
∵EC=

2

，
∴EF=1，
設(shè)半徑OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，
解得：x=

2

+1，
∴BC=2（

2

+1）=2

2

+2，
AB=

2

（

2

+1），
∴

BC•CE

AB

=

(2 2 +2)× 2

2 ( 2 +1)

=2．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出⊙O的半徑是解題關(guān)鍵．