Question

如圖1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD為邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上．

(1)填空：∠ADE=____°；

(2)求證：  AB=BC;

(3)如圖2所示，若F為線(xiàn)段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30°，求的值．

 

Answer 1

 

（1）45

（2）證明略

（3）1

解析:解：（1）45；                                   ……2分

（2）證明：連接AC

∵∠DCB=75º，AD∥BC  

∴∠ADC=105º

     由等邊△DCE可知：∠CDE =60º

故∠ADE =45º

由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º

∴∠AED=45º

     ∴AD=AE                                                        

∴點(diǎn)A在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上                              ……4分

又CD=CE

∴點(diǎn)C也在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上                           ……5分

∴AC就是線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)

即AC⊥DE

∴AC平分∠EAD

∴∠BAC=45°

∴△ABC是等腰直角三角形

∴BA=BC                                                      ……6分

（3）解：連接AF，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G

∵∠FBC=30º，∠ABC=90 º

∴∠ABF=60º，∠DCB=75º

∴∠BFC=75º

故BC=BF

由(2)知：BA=BC

∴BA=BF

∴△ABF是等邊三角形

∴AB=BF=FA                                                   ……7分

∴∠BAC=60 º

∴∠DAF=30 º

又∵AD∥BC

∴∠FAG=∠G=30º

∴FG =FA=FB                                                 ……8分

又∠DFG=∠CFB

∴△BCF≌△GDF（ASA）                                       ……9分

∴DF=CF

∴=1                                                      ……10分