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        1. 【題目】如圖,在△ABC中,AB=c,AC=b.AD是△ABC的角平分線,DE⊥A于E,DF⊥AC于F,EF與AD相交于O,已知△ADC的面積為1.
          (1)證明:DE=DF;
          (2)試探究線段EF和AD是否垂直?并說明理由;
          (3)若△BDE的面積是△CDF的面積2倍.試求四邊形AEDF的面積.

          【答案】解:
          (1)證明:
          ∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥A于E,DF⊥AC于F,
          ∴DE=DF(角平分線的性質);
          (2)垂直.理由如下:
          ∵AD是△ABC的角平分線,
          ∴∠EAD=∠FAD,
          ∵DE⊥AB,DF⊥AC,
          ∴∠AED=∠AFD=90°,
          在Rt△AED和Rt△AFD中
          ,
          ∴Rt△AED≌Rt△AFD(AAS),
          ∴AE=AF,
          ∴點A在線段EF的垂直平分線上,
          同理點D也在線段EF的垂直平分線上,
          ∴AD⊥EF;
          (3)設S△CDF=x,則S△BDE=2x,
          ∵S△ACD=1,且△AED≌△AFD,
          ∴S△AED=S△AFD=1﹣x,
          ∴S△ABD=S△BDE+S△AED=2x+1﹣x=x+1,
          又S△ABD=ABDE,S△ACD=ACDF,且AB=c,AC=b,
          ×cDE=x+1,×bDF=1,
          ∴DE=,DF=,
          又由(1)可知DE=DF,
          =,解得x=﹣1,
          ∵△AED≌△AFD,
          ∴S△AED=S△AFD=S△ACD﹣S△CDF=1﹣x,
          ∴S四邊形AEDF=2S△AED=2(1﹣x)=2[1﹣(﹣1)]=4﹣,
          即四邊形AEDF的面積為4﹣
          【解析】(1)由角平分線的性質直接可得到DE=DF;
          (2)可證明△AED≌△AFD,可知AE=AF,利用線段垂直平分線的判定可證明AD是EF的垂直平分線,可證得結論;
          (3)設△CDF的面積為x,則可分別表示出△BED、△ADE的面積,利用三角形的面積可分別表示出DE和DF,根據(jù)DE=DF可得到關于x的方程,可求得x的值,進一步可求得四邊形AEDF的面積.
          【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形三邊關系的相關知識,掌握三角形兩邊之和大于第三邊;三角形兩邊之差小于第三邊;不符合定理的三條線段,不能組成三角形的三邊.

          練習冊系列答案
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          分數(shù)集合:{ …};
          正數(shù)集合:{ …};
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          租金(單位:元/臺時)

          挖掘土石方量(單位:m3/臺時)

          甲型挖掘機

          100

          60

          乙型挖掘機

          120

          80


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          ∴∠B=
          ∵∠B=∠DEF(已知)
          ∴∠DEF=
          ∴DE∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)

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