Question

【題目】(2016湖北省荊州市第21題)如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．

Answer 1

【答案】△A′DE是等腰三角形；證明過程見解析.

【解析】

試題分析：當四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先證明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根據(jù)A′D=DE=EF即可證明．

試題解析：當四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．

理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA，

∵A′C∥AC， ∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE，

∴△A′DE是等腰三角形． ∵四邊形DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，

∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD∥C′D′， ∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，

在△A′DE和△EFC′中，， ∴△A′DE≌△EFC′．