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        1. 【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+cx軸交于A,BAB分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0)

          1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);

          2)判斷CDB的形狀并說(shuō)明理由;

          3)將COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0t3)得到QPEQPECDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求St的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

          【答案】(1)B(3,0),C(0,3),(2)△CDB為直角三角形;(3)S=

          【解析】試題分析:(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
          (2)分別求出△CDB三邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;
          (3)△COB沿x軸向右平移過(guò)程中,分兩個(gè)階段:
          (I)當(dāng)0<t≤時(shí),如答圖2所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形;
          (II)當(dāng)<t<3時(shí),如答圖3所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形.

          試題解析:(1)∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,

          ∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,

          ∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,

          令x=0,得y=3,

          ∴C(0,3);

          令y=0,得x=﹣1或x=3,

          ∴B(3,0).

          (2)△CDB為直角三角形.

          理由如下:由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

          如答圖1所示,

          過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.

          過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.

          在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC=;

          在Rt△CND中,由勾股定理得:CD=;

          在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD=

          ∵BC2+CD2=BD2,∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).

          (3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

          ∵B(3,0),C(0,3),

          解得k=﹣1,b=3,

          ∴y=﹣x+3,直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到,

          ∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;

          設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m,

          ∵B(3,0),D(1,4),

          ,

          解得:m=﹣2,n=6,

          ∴y=﹣2x+6.連接CQ并延長(zhǎng),射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G(1.5,3).

          在△COB向右平移的過(guò)程中:

          (I)當(dāng)0<t≤1.5時(shí),如答圖2所示:設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

          設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,則:

          解得,

          ∴F(3﹣t,2t).

          S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PEPQ=0.5PBPK=0.5BEyF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t2t=-1.5t2+3t;

          (II)當(dāng)1.5<t<3時(shí),如答圖3所示:設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J.

          ∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.直線BD解析式為y=﹣2x+6,

          令x=t,得y=6﹣2t,

          ∴J(t,6﹣2t).

          S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PBPJ﹣0.5PBPK=0.5(3﹣t)(6﹣2t)﹣0.5(3﹣t)2=0.5t2﹣3t+4.5.

          綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S=

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