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        1. 【題目】(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是DCP的平分線上一點(diǎn).若AMN=90°,求證:AM=MN.

          下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.

          證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.正方形ABCD中,B=BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE

          (下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程)

          (2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是ACP的平分線上一點(diǎn),則AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

          (3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)AMN= 時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫(xiě)出答案,不需要證明)

          【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)結(jié)論AM=MN還成立,見(jiàn)解析;(3)仍成立

          【解析】

          試題分析:(1)要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN.

          (2)同(1),要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN.

          (3)由(1)(2)可知,AMN等于它所在的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角即等于時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.

          (1)證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

          正方形ABCD中,B=BCD=90°,AB=BC.

          ∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE

          BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

          ∴∠BEM=45°∴∠AEM=135°

          NDCP的平分線上一點(diǎn),

          ∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°

          AEMMCN中,MAE=NMC,AE=MC,AEM=MCN

          ∴△AEM≌△MCN(ASA),

          AM=MN

          (2)解:結(jié)論AM=MN還成立

          證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

          在正ABC中,B=BCA=60°,AB=BC.

          ∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAE

          BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

          ∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°

          NACP的平分線上一點(diǎn),

          ∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°

          AEMMCN中,MAE=NMC,AE=MC,AEM=MCN,

          ∴△AEM≌△MCN(ASA),

          AM=MN

          (3)解:若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,則當(dāng)AMN=時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.

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