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        1. 【題目】如圖1,以直線MN上的線段BC為邊作正方形ABCD,CH平分∠DCN,點E為射線BN上一點,連接AE,過點EAE的垂線交射線CH于點F,探索AEEF的數(shù)量關(guān)系。

          (1)閱讀下面的解答過程。并按此思路完成余下的證明過程

          當(dāng)點E在線段BC上,且點EBC中點時,AB=EF

          理由如下:

          AB中點P,達接PE

          在正方形ABCD中,∠B=BCD=90°,AB=BC

          ∴△BPE等腰三角形,AP=BC

          ∴∠BPB=45°

          ∴∠APBE=135°

          又因為CH平分∠DCN

          ∴∠DCF=45°

          ∴∠ECF=135°

          ∴∠APE=ECF

          余下正明過程是:

          (2)當(dāng)點E為線段AB上任意一點時,如圖2,結(jié)論“AE=EF”是否成立,如果成立,請給出證明過程;

          (3)當(dāng)點EBC的延長線時,如圖3,結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立,如果成立,請在圖3中畫出必要的輔助線(不必說明理由)。

          【答案】(1)見解析;(2)成立,理由見解析;(3)成立,圖形見解析

          【解析】

          (1) 取AB中點P,連接PE,得出∠APE=∠ECF,再根據(jù)同角的余角相等得出∠BAE=∠CEF,進而得出ΔAPE≌ΔECF,求出結(jié)果;

          (2) 在AB上截取BN=BE,類比(1)的證明方法即可得出結(jié)果;

          (3) 在BA延長線上取一點Q,使BQ=BE,連接EQ, 類比(1)的證明方法即可得出結(jié)果.

          (1)余下證明過程為:

          ∵∠ABE=90°

          ∴∠BAE+∠AEB=90°

          ∵∠AEF=90°

          ∴∠BAE=∠CEF

          ∴ΔAPE≌ΔECF

          ∴AE=EF.

          (2)成立

          證明:在AB上截取BN=BE

          在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC

          ∴ΔBNE為等腰三角形,AN=EC

          ∴∠BNE=45°

          ∴∠ANE=135°

          又因為GH平分∠DCN

          ∴∠DCF=45°

          ∴∠ECF=135°

          ∴∠ANE=∠ECF

          由(1)得∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°

          ∴∠BAE=∠CEF

          ∴ΔANE≌ΔECF

          ∴AE=EF

          (3)如圖

          證明:在BA延長線上取一點Q,使BQ=BE,連接EQ,


          在正方形ABCD中,
          ∵AB=BC,
          ∴AQ=CE.
          ∵∠B=90°,
          ∴∠Q=45°.
          ∵CH平分∠DCN,∠DCN=∠DCB=90°,
          ∴∠HCE=∠Q=45°.
          ∵AD∥BE,
          ∴∠DAE=∠AEB.
          ∵∠AEF=∠QAD=90°,
          ∴∠QAE=∠CEF.
          ∴△QAE≌△CEF.
          ∴AE=EF.

          練習(xí)冊系列答案
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          (2)本次抽樣調(diào)查中,最喜歡足球活動的有多少人?占被調(diào)查人數(shù)的百分比是多少?

          (3)若該校九年級共有400名學(xué)生,圖2是根據(jù)各年級學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計圖,請你估計全校學(xué)生中最喜歡籃球活動的人數(shù)約為多少?

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          月份

          一月

          二月

          三月

          四月

          五月

          六月

          七月

          錢數(shù)變化

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