Question

如圖，P為正比例函數(shù)y=

3

4

x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）求⊙P與直線x=4相切時(shí)m、n的值；
（2）寫出⊙P與直線x=4相交、相離時(shí)m的取值范圍；
（3）若⊙P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直線l：向右上方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓的半徑逐漸增大，半徑r與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的關(guān)系為r=t+2．則當(dāng)t取何值時(shí)，⊙P與直線l相切？（本大題不必寫過(guò)程，直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑分點(diǎn)P在x=4的左邊與右邊兩種情況求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即m的值，然后代入直線解析式求出縱坐標(biāo)，即n的值；
（2）根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離小于圓的半徑求出m的取值范圍，根據(jù)直線與圓相離，圓心到直線的距離大于圓的半徑分⊙P在直線x=4的左邊與右邊兩種情況求出相離時(shí)的m的取值范圍；
（3）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的變化量，然后分點(diǎn)P在直線x=4的左邊與右邊兩種情況表示出點(diǎn)P到直線x=4的距離，再根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑列出方程計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵⊙P的半徑為2，
∴⊙P與直線x=4相切時(shí)，若⊙P在直線x=4的左邊，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4-2=2，
即m=2，
此時(shí)n=

3

4

×2=

3

2

，
若⊙P在直線x=4的右邊時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4+2=6，
即m=6，
此時(shí)n=

3

4

×6=

9

2

；

（2）根據(jù)（1），當(dāng)2＜m＜6時(shí)，⊙P與直線x=4相交，
當(dāng)m＜2或m＞6時(shí)，⊙P與直線x=4相離；

（3）∵點(diǎn)P在y=

3

4

x上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的變化量為

4

5

t，
點(diǎn)P在直線x=4的左邊時(shí)，P到直線x=4的距離為4-

4

5

t，
∵⊙P與直線l相切，
∴4-

4

5

t=t+2，
解得t=

10

9

，
點(diǎn)P在直線x=4的右邊時(shí)，點(diǎn)P到直線x=4的距離為

4

5

t-4，
∵⊙P與直線l相切，
∴

4

5

t-4=t+2，
解得t=-30（不合題意，舍去），
綜上所述，t=

10

9

秒時(shí)，⊙P與直線l相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要考查了直線與圓相切，相交，相離是圓心與直線的距離關(guān)系，難度不大，難點(diǎn)在于每一小題都要分⊙P在直線x=4的左邊與右邊兩種情況討論．