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        1. 精英家教網(wǎng)已知:如圖,拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數(shù))經(jīng)過原點(diǎn)和E(3,0).
          (1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)設(shè)A是該拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn),過A作x軸的平行線,交拋物線于另一點(diǎn)D,再作AB⊥x軸于B,DC⊥x軸于C.
          ①當(dāng)BC=1時,求矩形ABCD的周長;
          ②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值?如果存在,請求出這個最大值及此時點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
          ③當(dāng)B(
          12
          ,0)時,x軸上是否存在兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊),使得四邊形PQDA是菱形?若存在,請求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          分析:(1)把原點(diǎn)及E的坐標(biāo)分別代入函數(shù)關(guān)系式即可求出未知數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式.
          (2)
          ①根據(jù)二次函數(shù)解析式,求出與x軸0的交點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線對稱軸,根據(jù)拋物線和矩形的對稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)锳B∥y軸,所以可知A、B橫坐標(biāo)相同,將B點(diǎn)橫坐標(biāo)代入解析式可以求出A點(diǎn)縱坐標(biāo),A、B兩點(diǎn)縱標(biāo)之差的絕對值即為AB的長,易求得矩形ABCD的周長;
          ②因?yàn)锳B∥y軸,所以可知A、B橫坐標(biāo)相同,設(shè)B點(diǎn)橫坐標(biāo)為x,代入解析式可以求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)式,再根據(jù)拋物線和矩形的對稱性,求出BC的長度表達(dá)式,然后將周長最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題解答;
          ③分點(diǎn)P在AB的左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況解答.先假設(shè)該圖形存在,根據(jù)菱形的性質(zhì)和圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出滿足條件的P、Q兩點(diǎn).
          解答:精英家教網(wǎng)解:
          (1)由已知條件,得:
          0+0+c=0
          9+3b+c=0

          解得:
          b=-3
          c=0

          ∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=x2-3x(2分)

          (2)①由y=x2-3x,令y=0,
          得x2-3x=0,
          解得x1=0,x2=3;
          ∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為(3,0)(3分)
          ∴它的頂點(diǎn)為(
          3
          2
          ,-
          9
          4
          ),對稱軸為直線x=
          3
          2

          ∵BC=1,由拋物線和矩形的對稱性易知OB=
          1
          2
          (3-1)=1
          ∴B(1,0)(4分)
          ∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=1,又點(diǎn)A在拋物線y=x2-3x上,
          ∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=12-3×1=-2.
          ∴AB=|y|=2
          ∴矩形ABCD的周長為:2(AB+BC)=6(5分)
          ②∵點(diǎn)A在拋物線y=x2-3x上,可以設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x2-3x),
          ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0).(0<x<
          3
          2

          ∴BC=3-2x,A在x軸的下方,
          ∴x2-3x<0
          ∴AB=|x2-3x|=3x-x2
          ∴矩形ABCD的周長P=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-
          1
          2
          2+
          13
          2

          (6分)精英家教網(wǎng)
          ∵a=-2<0,
          ∴當(dāng)x=
          1
          2
          時,矩形ABCD的周長P最大值是
          13
          2
          ,(7分)
          此時點(diǎn)A的坐標(biāo)是(
          1
          2
          ,-
          5
          4
          )(8分)
          ③當(dāng)B(
          1
          2
          ,0)時,A(
          1
          2
          ,-
          5
          4
          ),D(
          5
          2
          ,-
          5
          4
          ),
          且AD∥PQ.要使四邊形PQDA是菱形,則需PA=PQ=AD=2,
          有兩種情況,當(dāng)點(diǎn)P在AB的左側(cè)時,
          PB=
          PA2-AB2
          =
          22-(
          5
          4
          )
          2
          =
          39
          4

          而B(
          1
          2
          ,0)
          ∴P(
          2-
          39
          4
          ,0),此時Q(
          10-
          39
          4
          ,0)(9分)
          當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時,同理可得此時P(
          2+
          39
          4
          ,0),Q(
          10+
          39
          4
          ,0)(10分)
          綜上所述,存在滿足條件的P、Q兩點(diǎn).點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
          2-
          39
          4
          ,0)或(
          2+
          39
          4
          ,0).
          點(diǎn)評:此題將拋物線和矩形菱形的周長和面積問題相結(jié)合,是一道中考壓軸題.解答時要根據(jù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)建立相應(yīng)表達(dá)式,特別是(2)充分利用圖形特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)的最值問題解答.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M.
          (1)求這條拋物線的解析式;
          (2)求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;
          (3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
          (1)求該拋物線的對稱軸;
          (2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個動圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時,求圓心P的坐標(biāo);
          (3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1-
          3
          ,0)和點(diǎn)B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′(1,3)處.
          (1)求原拋物線的解析式;
          (2)在原拋物線上,是否存在一點(diǎn),與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
          (3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽,九年級(5)班的小明在解答此題時頓生靈感:過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn),將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計(jì)成一個“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠(yuǎn);而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
          5
          -1
          2
          (約等于0.618).請你計(jì)算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
          5
          ≈2.236
          6
          ≈2.449
          ,結(jié)果精確到0.001)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
          (1)求該拋物線的解析式;
          (2)若點(diǎn)M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
          (3)點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
          (4)若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱.
          (1)求p、q的值.
          (2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          (3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點(diǎn)E(不與點(diǎn)C重合),使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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