Question

已知：如圖，拋物線y=x²+bx+c（b、c為常數(shù)）經(jīng)過原點(diǎn)和E（3，0）．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A是該拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當(dāng)BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值及此時點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
③當(dāng)B（

1

2

，0）時，x軸上是否存在兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊），使得四邊形PQDA是菱形？若存在，請求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把原點(diǎn)及E的坐標(biāo)分別代入函數(shù)關(guān)系式即可求出未知數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（2）
①根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出與x軸0的交點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線對稱軸，根據(jù)拋物線和矩形的對稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B∥y軸，所以可知A、B橫坐標(biāo)相同，將B點(diǎn)橫坐標(biāo)代入解析式可以求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)，A、B兩點(diǎn)縱標(biāo)之差的絕對值即為AB的長，易求得矩形ABCD的周長；
②因?yàn)锳B∥y軸，所以可知A、B橫坐標(biāo)相同，設(shè)B點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，代入解析式可以求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)式，再根據(jù)拋物線和矩形的對稱性，求出BC的長度表達(dá)式，然后將周長最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題解答；
③分點(diǎn)P在AB的左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況解答．先假設(shè)該圖形存在，根據(jù)菱形的性質(zhì)和圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出滿足條件的P、Q兩點(diǎn)．

解答：解：
（1）由已知條件，得：

0+0+c=0 9+3b+c=0

解得：

b=-3 c=0

∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-3x（2分）

（2）①由y=x²-3x，令y=0，
得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3；
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（3，0）（3分）
∴它的頂點(diǎn)為（

3

2

，-

9

4

），對稱軸為直線x=

3

2

∵BC=1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB=

1

2

（3-1）=1
∴B（1，0）（4分）
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=1，又點(diǎn)A在拋物線y=x²-3x上，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=2
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=6（5分）
②∵點(diǎn)A在拋物線y=x²-3x上，可以設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-3x），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x軸的下方，
∴x²-3x＜0
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長P=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

（6分）
∵a=-2＜0，
∴當(dāng)x=

1

2

時，矩形ABCD的周長P最大值是

13

2

，（7分）
此時點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

1

2

，-

5

4

）（8分）
③當(dāng)B（

1

2

，0）時，A（

1

2

，-

5

4

），D（

5

2

，-

5

4

），
且AD∥PQ．要使四邊形PQDA是菱形，則需PA=PQ=AD=2，
有兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在AB的左側(cè)時，
PB=

PA2-AB2

=

22-( 5 4 )2

=

39

4

而B（

1

2

，0）
∴P（

2- 39

4

，0），此時Q（

10- 39

4

，0）（9分）
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，同理可得此時P（

2+ 39

4

，0），Q（

10+ 39

4

，0）（10分）
綜上所述，存在滿足條件的P、Q兩點(diǎn)．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2- 39

4

，0）或（

2+ 39

4

，0）．

點(diǎn)評：此題將拋物線和矩形菱形的周長和面積問題相結(jié)合，是一道中考壓軸題．解答時要根據(jù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)建立相應(yīng)表達(dá)式，特別是（2）充分利用圖形特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)的最值問題解答．