Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=

3

，矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD．點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A，E，D．
（1）判斷點(diǎn)E是否在y軸上，并說(shuō)明理由；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在x軸的上方是否存在點(diǎn)P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）點(diǎn)E在y軸上
理由如下：
連接AO，如圖所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=

3

，
∴AO=2∴sin∠AOB=

1

2

，∴∠AOB=30°
由題意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點(diǎn)B在x軸上，∴點(diǎn)E在y軸上．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=

1

2

，OM=

3

2

∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

3

2

，

1

2

)
由（1）知EO=AO=2，點(diǎn)E在y軸的正半軸上
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3

，1）
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
∴c=2
由題意，將A（-

3

，1），D（

3

2

，

1

2

）代入y=ax²+bx+2中，
得

3a- 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 1 2

解得

a=- 8 9 b=- 5 3 9

∴所求拋物線表達(dá)式為：y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面積=AB•BO=

3

∴以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為2

3

．
由題意可知OB為此平行四邊形一邊，
又∵OB=

3

∴OB邊上的高為2
依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）
∵點(diǎn)P在拋物線y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2上
∴-

8

9

m²-

5 3

9

m+2=2
解得，m₁=0，m₂=-

5 3

8

∴P₁（0，2），P₂（-

5 3

8

，2）
∵以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=

3

，
∴當(dāng)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-

3

，2），Q₂（

3

，2）；
當(dāng)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-

5 3

8

，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q₃（-

13 3

8

，2），Q₄（

3 3

8

，2）．