Question

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD于點(diǎn)P，OE⊥AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．
（1）求證：∠DCF=∠DAB；
（2）求證：；
（3）當(dāng)圖1中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓外時(shí)，即AC、BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且∠P=90°時(shí)（如圖2所示），（2）中的結(jié)論是否成立？如果成立請(qǐng)給出你的證明，如果不成立請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形外角的性質(zhì)可以得到∠DCF=∠CBD+∠CDB，再根據(jù)∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB即可得到結(jié)論；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交⊙O與點(diǎn)G，連接GB，利用三角形中位線的性質(zhì)即可得到．
（3）結(jié)論仍然成立，證明方法同（2）．
解答：（1）證明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．（1分）

（2）解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O與點(diǎn)G，連接GB，
∵AG過O點(diǎn)，為圓O直徑，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于點(diǎn)E，
∴E為AB中點(diǎn)．
∴．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．（4分）

（3）解：（2）的結(jié)論成立．
證明：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于點(diǎn)E，
∴E為AB中點(diǎn)．
∴．
由（1）證明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、三角形中位線定理垂徑定理等知識(shí)，是一道難度較大的綜合題目．