Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）在此運(yùn)動(dòng)的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：作NC⊥OA于C，

∵t=3時(shí)，AN=3× =5，

∴CN=ANsin∠OAB=5× =4，AC=ANcos∠OAB=5× =3，

∴OC=OA﹣AC=3，

∴N（3，4）

故答案為N（3，4）．

（2）

解：由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

NC=NAsin∠BAO= t = t，

則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t，

=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6．

（3）

解：（解法1）AM=6﹣t，AN= t （0＜t＜6），

∴AC=ANcos∠BAO=t，

①當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t= t，即 t= ，

②當(dāng)MN=AN時(shí)，則NC垂直平分線段MA，

∴MC=AC=t

∵OM+MC+CA=OA

∴t+t+t=6 解得t=2

③當(dāng)MN=MA時(shí)，設(shè)D為線段AN的中點(diǎn)，則 MD垂直平分線段AN

∴AD= AN= ，

又∵cos∠DAM=cos∠OAB （或∵△DAM∽△OAB）

∴ 即 解得 t= ．

綜上，當(dāng)t的值取 2或 或 時(shí)，△MAN是等腰三角形．

（解法2）AN= t，NC= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴MC=|OC﹣OM|=|6﹣t﹣t|=|6﹣2t|

Rt△NCM中 NM2=MC2+NC2

∴NM= = ，

∴ ，

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t＜6）；

①當(dāng)MN=AN時(shí)，MN2=AN2

∴ = ，

即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②當(dāng)MN=MA時(shí)，MN2=MA2

∴ =（6﹣t）2，

即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t= t，即t= ；

綜上，當(dāng)t的值取 2或 或 時(shí)，△MAN是等腰三角形．

【解析】（1）作NC⊥OA于C，在Rt△ANC中，求出NC、AC即可解決問題；（2）過點(diǎn)N作NC⊥OA于C．由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t，則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（3）分三種情形方程列出方程即可解決問題．．