Question

【題目】操作：在中，，，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、于、兩點(diǎn)．圖，，是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的種情況．

研究：

三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察線段和之間有什么數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖加以證明；

三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的處，且，和前面一樣操作，試問(wèn)線段和之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖加以證明．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）共有四種情況：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即時(shí)，；②，此時(shí)；

③當(dāng)時(shí)，此時(shí)；④當(dāng)在的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，此時(shí)；．

【解析】

試題（1）連接PC，通過(guò)證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；

（2）分為點(diǎn)C與點(diǎn)E重合、CE=、CE=1、E在CB的延長(zhǎng)線上四種情況進(jìn)行說(shuō)明；

（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構(gòu)造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）連接PC，

因?yàn)?/span>△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，

①當(dāng)PE=PB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CE=0；

②當(dāng)BP=BE時(shí)，E在線段BC上，CE=；E在CB的延長(zhǎng)線上，CE=；

③當(dāng)EP=EB時(shí)，CE=1；

（3）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，MH⊥BC

∵∠C=90°，

∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

∴∠DMF=∠EMH，

∵∠MFD=∠MHE=90°，

∴△MFD∽△MHE，