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        1. 【題目】如圖(1),E是正方形ABCD的邊BC上的一個點(E與B、C兩點不重合),過點E作射線EP⊥AE,在射線EP上截取線段EF,使得EF=AE;過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G.

          (1)求證:FG=BE;
          (2)連接CF,如圖(2),求證:CF平分∠DCG;
          (3)當 = 時,求sin∠CFE的值.

          【答案】
          (1)

          證明:∵EP⊥AE,

          ∴∠AEB+∠GEF=90°,

          又∵∠AEB+∠BAE=90°,

          ∴∠GEF=∠BAE,

          又∵FG⊥BC,

          ∴∠ABE=∠EGF=90°,

          在△ABE與△EGF中,

          ∴△ABE≌△EGF(AAS),

          ∴FG=BE;


          (2)

          證明:由(1)知:BC=AB=EG,

          ∴BC﹣EC=EG﹣EC,

          ∴BE=CG,

          又∵FG=BE,

          ∴FG=CG,

          又∵∠CGF=90°,

          ∴∠FCG=45°= ∠DCG,

          ∴CF平分∠DCG


          (3)

          解:如圖,作CH⊥EF于H,

          ∵∠HEC=∠GEF,∠CHE=∠FGE=90°,

          ∴△EHC∽△EGF,

          = ,

          根據(jù) = ,設BE=3a,則EC=a,EG=4a,F(xiàn)G=CG=3a,

          ∴EF=5a,CF=3 a,

          = ,HC= a,

          ∴sin∠CFE= =


          【解析】(1)根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,且AE=EF,利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等,利用全等三角形的對應邊相等即可得證;(2)由(1)得到BC=AB=EG,利用等式的性質(zhì)得到BE=CG,根據(jù)FG=BE,等量代價得到FG=CG,即三角形FCG為等腰直角三角形,得到∠FCG=45°,即可得證;(3)如圖,作CH⊥EF于H,則△EHC∽△EGF,利用相似得比例,根據(jù)BE與BC的比值,設出BE,EC,以及EG,F(xiàn)G,利用勾股定理表示出EF,CF,進而表示出HC,在直角三角形HC中,利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sin∠CFE的值.

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