Question

（任選做一題）
（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)．求證：AE•OB=OE•CB；

（2）已知如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE=EC，ED延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：①△DBF∽△ADF；②

AB

AC

=

DF

AF

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理可得出△AOE∽△COB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答；
（2）①根據(jù)AD⊥BC，可知△ACD是直角三角形，再根據(jù)AE=CE可知DE是△ACD斜邊的中線，故DE=CE，∠C=∠EDC，再根據(jù)對(duì)頂角相等可知∠BDF=∠C，再由直角三角形兩銳角互余可知∠BAD=∠C，進(jìn)而可求出△DBF∽△ADF；
②先求出Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可知

AB

AC

=

BD

AD

，再由①中所求△DBF∽△ADF可知

BD

AD

=

DF

AF

，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠ACB，∠AEO=∠EBC，
∴△AOE∽△COB，
∴

AE

BC

=

OE

OB

，即AE•OB=OE•CB；

（2）①∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵AE=CE，
∴DE是△ACD斜邊的中線，
∴DE=CE，∠C=∠EDC，
∴∠BDF=∠C，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠F=∠F，
∴△DBF∽△ADF；
②在Rt△ABD與Rt△CAD中，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

，
∵由①可知△DBF∽△ADF，
∴

BD

AD

=

DF

AF

，
∴

AB

AC

=

DF

AF

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，涉及面較廣，但難易適中．