Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點，且與軸交于點．

(1)直接寫出點的坐標(biāo)為 ；點的坐標(biāo)為 ；

(2)過點作軸于點，過點作直線l∥y軸．動點從點出發(fā)，以每秒個單位長的速度，沿的路線向點運動；同時直線從點出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線交軸于點，交線段或線段于點．當(dāng)點到達點時，點和直線都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點運動的時間為秒．

當(dāng)為何值時，以、、為頂點的三角形的面積為；

是否存在以、、為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①當(dāng)時，以、、為頂點的三角形的面積為；②或或或時，是等腰三角形.

【解析】

（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點坐標(biāo)；

（2）①利用S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；

②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．

（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x+7與正比例函數(shù)yx的圖象交于點A，且與x軸交于點B，

∴，解得：，

∴A點坐標(biāo)為：（3，4）；

∵y＝﹣x+7＝0，解得：x＝7，

∴B點坐標(biāo)為：（7，0）．

（2）①當(dāng)P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO＝t，PC＝4﹣t，BR＝t，OR＝7﹣t．

∵當(dāng)以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，

∴（AC+BO）×COAC×CPPO×ROAM×BR＝8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR＝16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t＝16，

∴t2﹣8t+12＝0，解得：t1＝2，t2＝6（舍去）；

當(dāng)t＝4時，A，P，R三點可以構(gòu)成三角形，此時面積是6，不合題意；

當(dāng)4＜t＜7時，S△APRAP×OC＝2（7﹣t）＝8，解得：t＝3，不符合4＜t＜7；

綜上所述：當(dāng)t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l交于一點D，當(dāng)l與AB相交于Q．

∵一次函數(shù)y＝﹣x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，

∴NO＝OB，

∴∠OBN＝∠ONB＝45°．

∵直線l∥y軸，

∴RQ＝RB，CD⊥L，

當(dāng)0≤t＜4時，如圖1，RB＝OP＝QR＝t，DQ＝AD＝（4﹣t），AC＝3，PC＝4﹣t．

∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP＝AQ，

∴AC2+PC2＝AP2＝AQ2＝（AD）2，

∴9+（4﹣t）2＝2（4﹣t）2，解得：t1＝1，t2＝7（舍去），

當(dāng)AP＝PQ時 32+（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t＝4 （舍去）．

當(dāng)PQ＝AQ時，2（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t1＝1+3（舍去），t2＝1﹣3（舍去），當(dāng)t＝4時，無法構(gòu)成三角形；

當(dāng)4＜t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD＝BD＝4，設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE＝RD＝t﹣4，AP＝7﹣t，由cos∠OAC，得：AQ（t﹣4），若AQ＝AP，則（t﹣4）＝7﹣t，解得：t；

當(dāng)AQ＝PQ時，AE＝PE，即AEAP，得：t﹣4（7﹣t），解得：t＝5；

當(dāng)AP＝PQ時，過P作PF⊥AQ于F，AFAQ（t﹣4）．

在Rt△APF中，由cos∠PAF，得：AFAP，即（t﹣4）（7﹣t），解得：t．

綜上所述：當(dāng)t＝1、5、、秒時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．