Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中xOy，拋物線(xiàn)y＝x2－2(m－1)x＋m2－4m＋3的頂點(diǎn)為C，直線(xiàn)y＝－2x＋3與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）若P為直線(xiàn)OC上一動(dòng)點(diǎn)，求△APB的面積；

（3）當(dāng)OA＋OB的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）C(m－1，2－2m)；（2）△APB的面積＝×4×＝6；（3）m的值．

【解析】試題分析：（1）把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出的長(zhǎng)，再根據(jù)AB∥OC求出兩平行線(xiàn)間的距離，最后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；

分情況進(jìn)行討論即可.

試題解析：（1）拋物線(xiàn)的解析式可化為

（2）∵直線(xiàn)OC的解析式為 ∴AB∥OC．

令AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、K，則

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，

∵

∴ ∴OG＝．

∴AB與OC之間的距離為．

解得： 或

∴

∴

∴的面積＝×4×＝6．

（3）如答圖1，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，則

過(guò)點(diǎn)A作AE∥y軸，A′E∥x軸，AE與A′E交于點(diǎn)E， 則可證

∴，解得

1）當(dāng)點(diǎn)A′在第二象限，由于A′、O、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，B不可能在第一或第二象限．

2）當(dāng)點(diǎn)A′在第二象限時(shí)，點(diǎn)B在第四象限時(shí)．

分別過(guò)點(diǎn)A′、B作x軸的垂線(xiàn)段，垂足分別為M、N，則

∵ 三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，

∴ ，解得m＝．

3）當(dāng)點(diǎn)A′在第三象限時(shí)，m－＜0，－2m＋＜0，即＜m＜．

此時(shí)點(diǎn)B在第四象限，顯然不成立．

綜上所述，m的值．