Question

如圖1和如圖2，四邊形ABCD是菱形，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑畫(huà)弧，交CB（或延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)F，連結(jié)PF，PA，PC．
（1）如圖1，當(dāng)P是BD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PF和PA的數(shù)量關(guān)系：

PF=PA

；
（2）如圖2，當(dāng)P不是BD的中點(diǎn)時(shí)，
①求證：PF=PA；
②若∠BCD=50°，直接寫(xiě)出∠APF的度數(shù)為

50°

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分可得PF=PA；
（2）①根據(jù)同圓的半徑相等，可得出結(jié)論；
②點(diǎn)A、F、C共圓，則可得∠APF=2∠ACF，再由菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角，可得∠APF=∠BCD．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，P是BD中點(diǎn)，
∴PA=PC=PD；
（2）①∵PA、PF是所畫(huà)圓的半徑，
∴PF=PA；
②由題意得，點(diǎn)A、F、C共圓，如圖2所示：
，
則∠APF=2∠ACF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BCD=2∠ACF，
∴∠APF=∠BCD=50°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分，對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的性質(zhì)．