Question

【題目】如圖，AB是⊙Ｏ的直徑，C、G是⊙Ｏ上兩點(diǎn)，且,過點(diǎn)C的直線CDBG于點(diǎn)D，交BA的延長線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F.

（1）求證：CD是⊙Ｏ的切線.

（2）若,求E的度數(shù).

（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.

【解析】

試題（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結(jié)論；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，

∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴，∴，

∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，

∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；

（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，

∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，

∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，

在Rt△DAH中，AD===．

故答案為（1）證明見解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.