Question

【題目】如圖，在矩形中，，，問：能否在邊上找一點(diǎn)，使點(diǎn)與、的連線將此矩形分成三個(gè)彼此相似的三角形？若能找到，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？若不能找到，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】若，，，方程無解，點(diǎn)不存在；若，當(dāng)時(shí)，，方程有等根，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)；若，，則當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的正根，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

【解析】

假設(shè)在AB邊上存在點(diǎn)E，使Rt△ADE∽R(shí)t△BEC∽R(shí)t△ECD，又設(shè)AE=x，則，即，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程是否有實(shí)根，在一定條件下有幾個(gè)實(shí)根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題．

假設(shè)在邊上存在點(diǎn)，使，

又設(shè)，則，即，即得

∵，所以有

若，，，方程無解，點(diǎn)不存在；

若，當(dāng)時(shí)，，方程有等根，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)；

若，，則當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的正根，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).